الإحصاء والاحتمالات
أساسيات الاحتمالات
أسئلة الاحتمالات تختبر قدرتك على التفكير بدقة تحت الضغط. المُحاورون يريدون رؤية تفكير واضح، ليس فقط الإجابات النهائية.
نظرية بايز
أهم صيغة في مقابلات علوم البيانات:
P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)
حيث:
- P(A|B) = احتمال A بمعلومية B (اللاحق)
- P(B|A) = احتمال B بمعلومية A (الاحتمالية)
- P(A) = الاحتمال السابق لـ A
- P(B) = الاحتمال الإجمالي لـ B
سؤال مقابلة كلاسيكي: اختبار لمرض دقيق بنسبة 99%. إذا كان 1% من السكان مصابين بالمرض، ما احتمال أن شخصاً إيجابي الاختبار مصاب فعلاً؟
المعطى:
- P(مرض) = 0.01
- P(إيجابي|مرض) = 0.99
- P(إيجابي|لا مرض) = 0.01 (إيجابي كاذب)
احسب:
P(مرض|إيجابي) = P(إيجابي|مرض) × P(مرض) / P(إيجابي)
P(إيجابي) = P(إيجابي|مرض) × P(مرض) + P(إيجابي|لا مرض) × P(لا مرض)
= 0.99 × 0.01 + 0.01 × 0.99
= 0.0099 + 0.0099 = 0.0198
P(مرض|إيجابي) = (0.99 × 0.01) / 0.0198 = 0.5 = 50%
الرؤية الأساسية: رغم دقة الاختبار 99%، هناك فقط 50% احتمال أن الشخص مصاب. هذه النتيجة غير البديهية تأتي من معدل الأساس المنخفض.
القيمة المتوقعة والتباين
القيمة المتوقعة (المتوسط):
E[X] = Σ xᵢ × P(xᵢ)
التباين:
Var(X) = E[(X - μ)²] = E[X²] - (E[X])²
سؤال مقابلة: لعبة كازينو تكلف $10 للعب. ترمي نرداً: إذا حصلت على 6، تفوز بـ$50؛ وإلا تخسر $10. ما القيمة المتوقعة؟
E[X] = P(فوز) × $40 + P(خسارة) × (-$10)
= (1/6) × $40 + (5/6) × (-$10)
= $6.67 - $8.33
= -$1.67
خسارة متوقعة $1.67 لكل لعبة.
التوزيعات الاحتمالية الشائعة
| التوزيع | حالة الاستخدام | الخاصية الرئيسية |
|---|---|---|
| الطبيعي | بيانات مستمرة، متوسطات | قاعدة 68-95-99.7 |
| ثنائي الحد | عدد النجاحات في n تجربة | n ثابت، نفس الاحتمال |
| بواسون | عدد الأحداث في فترة | λ = المتوسط = التباين |
| الأسي | الوقت بين الأحداث | خاصية عدم الذاكرة |
نصيحة مقابلة: دائماً صرّح بأي توزيع تفترض ولماذا.
ألغاز الاحتمالات الكلاسيكية
مشكلة أعياد الميلاد
السؤال: كم شخص مطلوب لاحتمال 50% أن اثنين يشتركان في عيد ميلاد؟
الجواب: فقط 23 شخصاً.
P(لا تطابق مع n شخص) = 365/365 × 364/365 × 363/365 × ... × (365-n+1)/365
P(تطابق واحد على الأقل) = 1 - P(لا تطابق)
عند n=23: P(تطابق) ≈ 50.7%
مشكلة مونتي هول
السيناريو: ثلاثة أبواب، سيارة واحدة، عنزتان. تختار الباب 1. المضيف يفتح الباب 3 (عنزة). هل يجب أن تبدل للباب 2؟
الجواب: نعم! التبديل يعطي 2/3 احتمال للفوز.
الاختيار الأولي: 1/3 احتمال للسيارة
التبديل: 2/3 احتمال للسيارة (الاحتمال "ينتقل" من الباب المفتوح)
لماذا هذا مهم: يختبر تفكير الاحتمال الشرطي.
إطار عمل المقابلة
عند حل مسائل الاحتمالات:
- عرّف فضاء العينة: ما كل النتائج الممكنة؟
- حدد الأحداث: ماذا نحسب؟
- صرّح بالافتراضات: الاستقلالية، التوزيعات
- اكتب الصيغة: أظهر عملك
- تحقق من المعقولية: هل الإجابة منطقية؟
تدرب على شرح تفكيرك بصوت عالٍ. المُحاورون يهتمون بعملية تفكيرك أكثر من الرقم النهائي. :::